Что такое фракталы

Часть похожа на целое

Посмотрите на дерево: ствол делится на ветки, ветки — на веточки поменьше, и каждая веточка похожа на маленькое дерево. Такое свойство называют самоподобием, а фигуры, которые им обладают, — фракталами.

Слово «фрактал» придумал математик Бенуа Мандельброт в 1975 году, в книге «Фрактальные объекты». Он взял латинское fractus — «дроблёный, сломанный, разбитый»^[1][2]. Но сами фигуры появились намного раньше: в конце XIX — начале XX века математики придумывали их как «чудовищ» — примеры, которые ломали привычные представления о линиях и площадях.

Снежинка Коха: бесконечный периметр

В 1904 году шведский математик Хельге фон Кох описал кривую, построенную очень просто^[3]:

1. Берём отрезок и делим его на три равные части.
2. Над средней частью строим равносторонний треугольник и убираем его основание.
3. Повторяем то же самое с каждым из четырёх получившихся отрезков — и так без конца.

Если начать не с отрезка, а с треугольника, получится снежинка Коха.

На каждом шаге периметр снежинки умножается на 4/3: вместо трёх частей отрезка остаются четыре. Шагов бесконечно много — значит, периметр бесконечен. А площадь при этом конечна: она стремится к 8/5 площади исходного треугольника^[4]. Получается фигура, которую можно закрасить, но нельзя обвести ниткой конечной длины.

Треугольник Серпинского: площадь — ноль

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский описал ещё одну знаменитую фигуру^[5]. Берём треугольник и вырезаем из него центральный — остаются три треугольника поменьше. Из каждого снова вырезаем центр, и так бесконечно.

На каждом шаге остаётся 3/4 площади, поэтому в пределе площадь равна нулю — хотя фигура никуда не исчезает и по-прежнему выглядит как треугольник. Похожие узоры встречаются задолго до Серпинского: их выкладывали в каменных мозаиках итальянских мастеров XIII века^[5].

Есть и ещё одна неожиданная связь. Если в треугольнике Паскаля закрасить нечётные числа и оставить пустыми чётные, то получится тот же узор — и чем больше строк, тем точнее сходство^[5].

Серпинский был очень плодовитым учёным: он написал 724 статьи и 50 книг, а его именем назван кратер на Луне^[6].

Дробная размерность

У отрезка размерность 1: если увеличить его вдвое, он сложится из двух копий исходного. У квадрата размерность 2: при увеличении вдвое он состоит из четырёх копий, то есть 2². У куба — 3: восемь копий, 2³.

Теперь треугольник Серпинского. Увеличим его вдвое — он сложится из трёх копий. Значит, его размерность — такое число d, что 2^d = 3. Это примерно 1,585^[5]: больше линии, но меньше площади. У снежинки Коха при увеличении втрое получается четыре копии, и её размерность — около 1,26^[4].

Такую размерность называют фрактальной или хаусдорфовой. Она показывает, насколько сильно фигура «изрезана» и как плотно заполняет плоскость. Именно дробная размерность, а не просто красота, — главный признак фрактала для математиков^[2].

Какой длины берег Великобритании

В середине XX века британский учёный Льюис Фрай Ричардсон заметил странную вещь: длина границ и берегов зависит от того, какой «линейкой» их мерить. Чем короче шаг, тем больше мелких бухт и мысов попадает в измерение — и тем длиннее получается берег^[7].

Уменьшили шаг вдвое — и берег «вырос» на 600 километров. В 1967 году Мандельброт опубликовал в журнале Science статью «Какова длина берега Британии?» и объяснил: береговая линия ведёт себя как фрактал. Размерность западного побережья Великобритании — около 1,25^[7][1].

Гастон Жюлиа и формула z² + c

Самые красивые фракталы рождаются из очень простой формулы. Возьмём число z, возведём его в квадрат и прибавим число c. С результатом сделаем то же самое — и так много раз:

z → z² + c

Числа здесь комплексные — это точки на плоскости. При повторении одни точки улетают всё дальше и дальше, а другие остаются рядом сколько угодно долго. Те, что не улетают, и образуют фрактал.

Изучать такие повторения начал французский математик Гастон Жюлиа. В январе 1915 года на фронте Первой мировой войны он был тяжело ранен в лицо и потерял нос. Операции не помогли, и всю жизнь Жюлиа носил кожаную повязку. Математикой он занимался прямо в госпитале, между операциями^[8]. В 1918 году вышел его мемуар об итерациях рациональных функций на 199 страниц — Жюлиа было 25 лет. За эту работу он получил Большую премию Французской академии наук^[9]. Независимо от него ту же область исследовал Пьер Фату^[9].

У множества Жюлиа число c одно на всю картинку, а точка плоскости — это начальное z. Поменяйте c — и узор станет совсем другим. Таких множеств бесконечно много.

Компьютеров тогда не было, и увидеть эти множества Жюлиа не мог. Его работы надолго забыли — пока в 1970-х годах их не вернул к жизни Мандельброт со своими компьютерными опытами^[8][9].

Множество Мандельброта

Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в Варшаве, а с 1958 года около 35 лет работал в исследовательском центре компании IBM^[1]. Там в 1980 году он нарисовал на компьютере фигуру, которую сегодня знает весь мир^[10].

Формула та же — z → z² + c, но теперь всё наоборот: начальное z всегда равно нулю, а c — это точка плоскости. Если точка не улетает, её красят в чёрный. Если улетает — в цвет, который зависит от того, как быстро это случилось.

Впервые эту фигуру нарисовали Роберт Брукс и Питер Мательски в 1978 году, но мир узнал её по работам Мандельброта. Имя ему дали французский математик Адриан Дуади и американец Джон Хаббард — в 1985 году они доказали многие его свойства. Например, что множество связное: все его части соединены, хотя бы тончайшими нитями. Сам Мандельброт сначала думал наоборот^[10].

Самое удивительное начинается при увеличении. Граница множества бесконечно сложна: в ней находятся спирали, «морские коньки», «слоны» и крошечные копии всего множества^[10].

Попробуйте сами

Нажмите на любое место картинки — оно приблизится в три раза. Цвета и форму рисует ваш браузер по той же формуле z → z² + c.

Больше возможностей — палитры, число итераций, свои параметры множества Жюлиа и картинки до 4K — в нашем генераторе фракталов.

Другие знаменитые фракталы

«Горящий корабль»

В 1992 году Михаэль Михелич и Отто Рёсслер изменили формулу Мандельброта в одной детали: перед возведением в квадрат у числа z берут модули обеих частей. Получился совсем другой фрактал — похожий на парусник, охваченный пламенем^[11].

Фрактал Ньютона

Есть способ находить корни уравнений — метод Ньютона: берут приблизительный ответ и шаг за шагом его уточняют. У уравнения z³ = 1 три корня. Раскрасим каждую точку плоскости в цвет того корня, к которому она придёт. Большие области получаются ровными, но на их границах цвета перемешиваются бесконечно: в любой точке границы рядом оказываются все три цвета сразу^[12].

Папоротник Барнсли

Британский математик Майкл Барнсли описал его в книге «Фракталы повсюду» (1988). Точка прыгает по плоскости по четырём простым правилам, выбирая их случайно: одно — в 1% случаев, другое — в 85%, два оставшихся — по 7%. Миллионы таких прыжков складываются в лист, очень похожий на настоящий папоротник — костенец чёрный^[13].

Фракталы в природе и технике

Настоящие фракталы бесконечны, а в природе самоподобие заканчивается на каком-то масштабе. Поэтому природные формы называют квазифракталами. Их много: облака, молнии, береговые линии, снежинки, кровеносные сосуды, бронхи и лёгкие^[2].

Самый известный пример — капуста романеско: её кочан сложен из башенок, каждая башенка — из башенок поменьше, и так несколько раз. Число спиралей на кочане — число Фибоначчи^[14]. В 2021 году учёные выяснили в журнале Science, откуда берётся такая форма: почки, которые должны стать цветками, «сбиваются» и снова и снова повторяют развитие побега^[15].

Фракталы работают и в технике^[2]:

• Антенны. Инженер Натан Коэн применил фрактальную геометрию в антеннах: такие антенны работают сразу в нескольких диапазонах частот.
• Компьютерная графика. Фракталами строят деревья, кусты, горные пейзажи и морскую поверхность.
• Сжатие изображений. Картинку можно хранить как набор правил, по которым она «вырастает» сама. Широко способ не распространился, но в своё время им пользовалась Microsoft.

Соберите фрактал

Мы сделали из фракталов пазлы — их можно собрать прямо на сайте в игре Пазлум:

• «Долина морских коньков» — множество Мандельброта;
• «Кружево Жюлиа» и «Спирали Жюлиа»;
• «Папоротник Барнсли».

А свой фрактал можно нарисовать и скачать в генераторе фракталов.