Лента Мёбиуса
Полоска бумаги с одной стороной и одним краем: как её склеить, что будет, если разрезать, и где она работает
Лента Мёбиуса — поверхность, у которой всего одна сторона и один край. Сделать её просто: возьмите полоску бумаги, переверните один конец на пол-оборота и склейте концы. Если вести карандашом линию вдоль ленты, она пройдёт по «обеим» сторонам и вернётся в начало, ни разу не перескочив через край. Ленту независимо друг от друга открыли в 1858 году немецкие математики Август Мёбиус и Иоганн Листинг. Её форму используют в конвейерных лентах, а знак переработки — три стрелки по кругу — тоже основан на ленте Мёбиуса.
Полоска, у которой одна сторона
У обычного бумажного кольца две стороны — внутренняя и внешняя — и два края. Муравей, который ползёт по внешней стороне, никогда не попадёт на внутреннюю, если не перелезет через край.
Теперь сделаем по-другому:
- Вырежьте из бумаги длинную полоску — например, 30 сантиметров на 3.
- Поверните один конец на пол-оборота (на 180 градусов).
- Склейте концы.
Получилась лента Мёбиуса[1].
Проведите карандашом линию посередине ленты, не отрывая его от бумаги. Линия обойдёт ленту дважды, побывает на «обеих» сторонах и вернётся в начало. Значит, сторона у ленты одна. Край тоже один — проведите пальцем по краю, и вы обойдёте его целиком, ни разу не перепрыгнув[1].
Математики называют такие поверхности неориентируемыми: на них нельзя договориться, где «лицо», а где «изнанка». Лента Мёбиуса — самая простая из них[1].
Опыт с ножницами
Самое интересное начинается, когда ленту режут.
| Как режем | Что получится |
|---|---|
| Вдоль, точно посередине | Не две ленты, а одна — вдвое длиннее, перекрученная на полный оборот |
| Получившуюся ленту ещё раз посередине | Две ленты, продетые одна в другую |
| На трети ширины от края | Две сцепленные ленты: короткая лента Мёбиуса и длинная, перекрученная на два пол-оборота |
Всё это описано в учебниках топологии[1], но гораздо интереснее проверить самому — понадобятся только бумага, клей и ножницы.
Когда режете посередине, разрез сам оказывается лентой с одним краем: ножницы проходят ленту дважды и возвращаются в начало. Края разреза при этом становятся краями одной новой, длинной ленты.
Кто открыл
Ленту описали в 1858 году сразу два немецких математика, независимо друг от друга, — Август Фердинанд Мёбиус и Иоганн Бенедикт Листинг. Название закрепилось за Мёбиусом[1][2]. Листинг, кстати, придумал и само слово «топология» — так называется раздел математики, который изучает свойства фигур, не меняющиеся при растягивании и изгибании[3].
Похожую перекрученную ленту можно найти и раньше: она изображена на римской мозаике III века[1].
Бутылка Клейна
Если склеить по краю две ленты Мёбиуса, получится бутылка Клейна — замкнутая поверхность, у которой вообще нет ни края, ни внутренности. В обычном трёхмерном пространстве её не построить без самопересечения: стеклянные «бутылки Клейна», которые продают как сувениры, проходят сквозь собственную стенку[1].
Где лента работает
- Конвейерные ленты. Если ленту конвейера перекрутить в ленту Мёбиуса, изнашиваться будет вся её поверхность, а не одна сторона, — значит, прослужит она дольше[1].
- Ленты для записи и печати. Так делали плёнки для непрерывной записи и красящие ленты некоторых принтеров: они используют обе «стороны»[1].
- Знак переработки. Три стрелки, бегущие по кругу, — это нарисованная лента Мёбиуса[1].
Ещё о необычных фигурах из математики — в статьях «Что такое фракталы» и «Число π».
Частые вопросы
Как сделать ленту Мёбиуса?
Вырежьте длинную полоску бумаги, поверните один её конец на 180 градусов (на пол-оборота) и склейте концы. Получится кольцо с одной стороной и одним краем.
Что будет, если разрезать ленту Мёбиуса пополам?
Если резать вдоль, точно посередине, лента не распадётся на две: получится одна длинная лента, перекрученная на полный оборот. А если резать на расстоянии трети ширины от края, выйдут две сцепленные ленты: короткая лента Мёбиуса и длинная, перекрученная на два пол-оборота.
Зачем нужна лента Мёбиуса?
В технике — чтобы лента изнашивалась равномерно: у конвейерной ленты в форме ленты Мёбиуса работает вся поверхность, а не одна сторона. Так же делали ленты для непрерывной записи и красящие ленты некоторых принтеров.
Источники
- Википедия. Лист Мёбиуса, ru.wikipedia.org. ru.wikipedia.org
- Wikipedia. Möbius strip, en.wikipedia.org. en.wikipedia.org
- Wikipedia. Johann Benedict Listing, en.wikipedia.org. en.wikipedia.org
Обсуждение
Комментариев пока нет — начните обсуждение первым.
Чтобы написать комментарий или ответить, войдите на сайт: