Числа Фибоначчи
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… — задача о кроликах, индийские стихи, золотое сечение и шишки
Числа Фибоначчи — последовательность, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… В Европу её принёс итальянский математик Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи — в «Книге абака» 1202 года, в задаче о размножении кроликов. Но в Индии эти числа знали гораздо раньше: их выводили, считая ритмы стихов. Отношение соседних чисел Фибоначчи приближается к золотому сечению — 1,618…, а сами числа встречаются в шишках, ананасах и подсолнухах, хотя далеко не у всех растений.
Правило
Начнём с двух чисел — 0 и 1. Каждое следующее получаем, складывая два предыдущих:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Это и есть числа Фибоначчи[1]. Правило простое, а числа растут очень быстро: 30-е число последовательности — уже 832 040.
Задача о кроликах
В 1202 году итальянский математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, выпустил «Книгу абака» — учебник счёта. Среди задач в ней была такая[2]:
Пару новорождённых кроликов посадили в загон. Через месяц пара становится взрослой, а ещё через месяц и дальше — каждый месяц приносит новую пару. Кролики не умирают. Сколько пар будет через год?
Посчитаем по месяцам: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… В каждом месяце пар столько, сколько было в прошлом месяце, плюс потомство всех, кто стал взрослым, — а взрослых столько, сколько было пар позапрошлым месяцем. Отсюда и правило «сумма двух предыдущих». Это идеализированная учебная задача — настоящие кролики так не размножаются[2].
Название «последовательность Фибоначчи» дал ей не сам Леонардо, а французский математик Эдуард Люка в XIX веке[1][2].
Индийские стихи
Задолго до Фибоначчи эти числа знали в Индии. В санскритской поэзии слоги бывают короткие и долгие, а долгий слог длится как два коротких. Сколькими способами можно составить строку заданной длины? Ответ — числа Фибоначчи.
Об этой задаче писал Пингала ещё около 200 года до н. э., яснее всего — Вираханка около 700 года, а Хемачандра около 1150 года сформулировал правило прямо: следующее число равно сумме последнего и предпоследнего[2].
Золотое сечение
Разделим каждое число Фибоначчи на предыдущее:
| Деление | Результат |
|---|---|
| 3 / 2 | 1,5 |
| 5 / 3 | 1,666… |
| 8 / 5 | 1,6 |
| 13 / 8 | 1,625 |
| 21 / 13 | 1,615… |
| 55 / 34 | 1,6176… |
| 144 / 89 | 1,61797… |
Результаты то больше, то меньше, но всё ближе подбираются к числу 1,6180339… — золотому сечению, которое обозначают греческой буквой φ (фи)[1]. Это заметил ещё Иоганн Кеплер: «как 5 относится к 8, так и 8 к 13, почти»[2].
Связь работает и в обратную сторону: по формуле Бине любое число Фибоначчи можно вычислить прямо через φ, не считая все предыдущие[1].
Шишки, ананасы и подсолнухи
Посмотрите на сосновую шишку или ананас: чешуйки складываются в спирали, закрученные в обе стороны. Если посчитать спирали каждого направления, часто получаются два соседних числа Фибоначчи. Так же устроены листья на стебле, ветвление деревьев и соцветия артишока[2][1].
О капусте романеско, у которой число спиралей — тоже число Фибоначчи, рассказываем в статье «Что такое фракталы».
Числа Фибоначчи встречаются не у всех растений[2], а многие популярные «доказательства» — натяжки [1]. Маленьких чисел Фибоначчи много (1, 2, 3, 5, 8, 13…), и под них легко подогнать что угодно: лепестки, пальцы, этажи. Хороший пример честной закономерности — спирали шишек; плохой — «золотые пропорции» в каждой картине и каждом здании.
Где ещё работают
У чисел Фибоначчи есть и вполне практические применения: на них построены алгоритм фибоначчиева поиска и структура данных фибоначчиева куча в программировании. А математикам эти числа так интересны, что им посвящён целый научный журнал — Fibonacci Quarterly[2].
Ещё о знаменитых числах — в статье «Число π».
Частые вопросы
Как получить числа Фибоначчи?
Начните с 0 и 1, а дальше каждое следующее число получайте сложением двух предыдущих: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8 и так далее.
Как числа Фибоначчи связаны с золотым сечением?
Если делить каждое число на предыдущее (8/5, 13/8, 21/13…), результат всё точнее приближается к золотому сечению — 1,6180339… Это заметил ещё Иоганн Кеплер.
Правда ли, что числа Фибоначчи есть везде в природе?
Их действительно можно найти в спиралях шишек, ананасов и соцветий. Но далеко не у всех видов, а многие популярные примеры — натяжки: из-за того, что маленьких чисел Фибоначчи много, под них легко «подогнать» почти что угодно.
Источники
- Википедия. Числа Фибоначчи, ru.wikipedia.org. ru.wikipedia.org
- Wikipedia. Fibonacci sequence, en.wikipedia.org. en.wikipedia.org
Обсуждение
Комментариев пока нет — начните обсуждение первым.
Чтобы написать комментарий или ответить, войдите на сайт: