Число π

Что такое π

Возьмите любую круглую вещь — кружку, монету, колесо — и обмотайте её ниткой. Длина нитки окажется чуть больше трёх диаметров. Точнее — в 3,14159… раза. Это отношение одинаково для всех кругов на свете, и его обозначают греческой буквой π (пи)^[1].

Отсюда две формулы, знакомые со школы:

• длина окружности: C = π · d (или 2πr);
• площадь круга: S = π · r².

Как π вычисляли в древности

Вавилоняне и египтяне пользовались значениями, близкими к трём, — например 25/8 (3,125) и 256/81 (около 3,16) ^[1].

Архимед в III веке до н. э. придумал, как посчитать π сколь угодно точно. Он вписывал в круг и описывал вокруг него многоугольники: длину окружности «зажимают» между их периметрами. Чем больше сторон, тем уже зазор. Так Архимед доказал, что π лежит между 223/71 и 22/7 — то есть между 3,1408 и 3,1429, — отсюда знаменитое приближение 22/7^[1][2].

Китайский математик Цзу Чунчжи в V веке нашёл дробь 355/113 = 3,1415929… — она верна до шестого знака после запятой. Точнее приближения не знали около 900 лет^[1].

Бесконечные формулы и первые компьютеры

Потом математики нашли формулы-ряды: сумму бесконечного числа слагаемых, которая всё точнее приближается к π. Первым такой ряд открыл индийский математик Мадхава около 1400 года, а в Европе их нашли Лейбниц, Ньютон и другие ^[1].

Считать вручную всё равно было тяжело. Англичанин Уильям Шенкс к 1873 году вычислил вручную 707 знаков. Но в 1948 году выяснилось, что он ошибся в 528-м знаке — и все остальные были неверны. Ошибку нашли уже с помощью вычислительной машины^[1].

Сегодня рекорды ставят суперкомпьютеры. К декабрю 2025 года известно около 314 триллионов знаков π^[1]. Для практики столько не нужно: в Лаборатории реактивного движения NASA для самых точных расчётов — межпланетной навигации — берут π с 15 знаками после запятой, 3,141592653589793^[3].

Почему знаки π не кончаются

В 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что π — иррациональное число: его нельзя записать дробью из двух целых чисел. Поэтому знаки после запятой идут бесконечно и не складываются в повторяющийся период^[1].

В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал ещё больше: π трансцендентно — оно не является корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами. Из этого следовало, что задача о квадратуре круга — построить циркулем и линейкой квадрат той же площади, что данный круг, — не имеет решения. Над ней бились больше двух с половиной тысяч лет^[1].

Откуда буква π

Букву π для этого числа первым использовал британский математик Уильям Джонс в 1706 году. Он писал «Periphery (π)» — «окружность», и π здесь первая буква греческого слова «периферия». Общепринятой буква стала благодаря Леонарду Эйлеру, который пользовался ею в своих трудах 1736 и 1748 годов^[2].

День числа π

Его отмечают 14 марта: в американской записи даты это 3/14. Праздник придумал физик Ларри Шоу из музея «Эксплораториум» в Сан-Франциско в 1988 году, а в 2019 году ЮНЕСКО объявила 14 марта Международным днём математики. Есть и «день приближённого π» — 22 июля, в честь дроби 22/7^[4].

π встречается не только в геометрии: в формулах колебаний маятника, в теории вероятностей, в физике волн. О других удивительных числах — в статье «Числа Фибоначчи», а о фигурах с бесконечным периметром — в статье «Что такое фракталы».