Парадокс дней рождения — Журнал lavarden.ru
Войти
Пятница, 23 октября 2026
Как устроены вещи Математика вокруг нас

Парадокс дней рождения

Почему в классе из 23 человек скорее всего найдутся двое с одним днём рождения — и почему интуиция здесь ошибается

Объяснение Проверено 23 октября 2026 2 мин чтения Обсудить
Коротко

Парадокс дней рождения: в группе всего из 23 человек вероятность того, что у каких-нибудь двоих совпадёт день рождения, уже больше 50%. А в группе из 57 человек — больше 99%. Кажется невероятным, ведь дней в году 365. Секрет в том, что сравнивают не вас с остальными, а всех со всеми: в группе из 23 человек целых 253 пары, и каждая пара — шанс на совпадение. Настоящего противоречия здесь нет, «парадокс» лишь в том, как сильно ошибается интуиция. Эта же математика помогает специалистам по защите информации — на ней основана «атака дней рождения».

Удивительное утверждение

В группе из 23 человек вероятность того, что хотя бы у двоих совпадут дни рождения (число и месяц), — больше 50%. Например, если в классе 23 ученика или больше, то скорее всего у кого-то из них дни рождения совпадают [1][2].

А в группе из 57 человек вероятность совпадения уже больше 99%[1]. Гарантированно же совпадение будет только среди 367 человек — на одного больше, чем дней в високосном году [1].

Почему интуиция ошибается

Обычно рассуждают так: шанс, что два человека родились в один день, — 1 к 365. Людей 23, значит, шанс примерно 23/365, около 6%. Но это рассуждение неверно[1].

Сравнивать нужно не одного человека со всеми, а всех со всеми. Каждая пара людей — отдельный шанс на совпадение. А пар в группе из 23 человек целых 253: 23 × 22 / 2[1][2]. Число пар растёт гораздо быстрее, чем число людей.

График вероятности совпадения дней рождения от числа людей: кривая проходит 50,7% при 23 людях и 99% при 57
Вероятность, что в группе найдутся двое с одним днём рождения. Кривая пересекает 50% уже на 23 людях и почти упирается в 100% к 60lavarden.ru · Журнал lavarden.ru · Собственное изображение lavarden.ru

Как это посчитать

Проще посчитать обратное — вероятность, что все дни рождения разные. Считаем, что в году 365 дней и все дни равновероятны[1][2].

  • Первый человек может родиться в любой день.
  • Второй должен родиться в любой из 364 оставшихся дней: вероятность 364/365.
  • Третий — в любой из 363: вероятность 363/365.
  • …и так далее до 23-го: 343/365.

Перемножив все эти дроби, получим около 0,4927 — вероятность, что совпадений нет. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения — 1 − 0,4927 ≈ 0,507, то есть 50,7%[2].

Людей в группе Вероятность совпадения
10 11,7%
20 41,1%
23 50,7%
30 70,6%
40 89,1%
50 97,0%
57 99,0%
70 99,9%
Это не парадокс

Строго говоря, логического противоречия здесь нет. «Парадокс» — только в том, насколько ответ расходится с интуитивным ощущением[1].

Совпадение именно со мной

Частая ошибка — путать этот вопрос с другим: какова вероятность, что кто-то родился в один день со мной [1]. Здесь пар гораздо меньше — только вы с каждым из остальных. Шанс, что никто из n человек не родился в ваш день, равен (364/365) в степени n. Для 23 человек вероятность совпадения с вами — всего около 6%, а чтобы она превысила 50%, понадобится 253 других человека.

Кто придумал

Задачу обычно приписывают математику Гарольду Давенпорту, около 1927 года. Сам он не считал себя первооткрывателем — не мог поверить, что её не сформулировали раньше. Впервые задачу опубликовал Рихард фон Мизес в 1939 году[2].

Зачем это нужно

Парадокс дней рождения — не просто фокус. На нём основана «атака дней рождения» в криптографии: она позволяет гораздо быстрее, чем кажется, найти два разных сообщения с одинаковой «цифровой подписью» — хеш-суммой. Те же расчёты помогают оценить, насколько велика вероятность таких совпадений[2].

математикавероятностьзадачипарадоксы

Частые вопросы

Сколько нужно человек, чтобы у двоих совпал день рождения?

Чтобы вероятность совпадения была больше половины — 23 человека. Для 99% достаточно 57. А чтобы совпадение было гарантировано, нужно 367 человек — на одного больше, чем дней в високосном году.

Почему это называют парадоксом?

Строго говоря, это не парадокс: логического противоречия здесь нет. Результат просто сильно расходится с интуицией — нам кажется, что для совпадения нужны сотни людей.

А какой шанс, что кто-то родился в один день со мной?

Это другая задача, и шанс в ней гораздо меньше. В группе из 23 человек — около 6%. Чтобы он превысил 50%, нужно 253 других человека.

Источники

  1. Википедия. Парадокс дней рождения, ru.wikipedia.org. ru.wikipedia.org
  2. Wikipedia. Birthday problem, en.wikipedia.org. en.wikipedia.org

Обсуждение

Комментариев пока нет — начните обсуждение первым.