Магические квадраты

Что это такое

Магический, или волшебный, квадрат — квадратная таблица чисел, в которой суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинаковы^[1][2].

Если квадрат n×n заполнен всеми числами от 1 до n² — каждое по одному разу, — его называют нормальным ^[1]. Общую сумму называют магической константой. Её легко вычислить: сумма всех чисел от 1 до n² делится поровну на n строк, и получается

M = n(n² + 1) / 2^[1].

Для квадрата 3×3 это 15, для 4×4 — 34, для 5×5 — 65.

Черепаха из реки Ло

Самый древний и самый простой магический квадрат — китайский Ло Шу, «Письмена реки Ло» ^[2][1].

Легенды о нём известны примерно с 650 года до н. э. Когда-то Китай затопил великий потоп. Пока царь Юй отводил воду в море, из реки вышла черепаха с удивительным узором на панцире: точки складывались в сетку 3×3, и в каждой строке, столбце и на диагонали их было по 15. По легенде, этот узор помог людям усмирить реку ^[2].

У этого квадрата есть удивительное свойство: он по сути единственный. Любой нормальный квадрат 3×3 получается из Ло Шу поворотом или зеркальным отражением^[2]. В Европе его называли «печатью Сатурна» ^[1].

Почему квадрата 2×2 нет

Попробуйте сами: числа 1, 2, 3, 4 нужно расставить так, чтобы строки, столбцы и диагонали давали одну сумму — 5. В строке с единицей рядом должна стоять четвёрка. Но и в столбце с единицей — тоже четвёрка, а она у нас одна. Ничего не выйдет: магических квадратов порядка 2 нет. Квадраты существуют для всех остальных порядков ^[1][2].

Квадрат Дюрера

В 1514 году немецкий художник Альбрехт Дюрер создал гравюру «Меланхолия I» и поместил на ней магический квадрат 4×4. Его считают первым магическим квадратом в европейском искусстве^{[2] [1]}.

В этом квадрате всё складывается в 34 — и не только строки, столбцы и диагонали. Сумма 34 получается в каждой из четырёх четвертей квадрата, в четырёх центральных клетках, в четырёх угловых^[2].

Сколько всего квадратов

С ростом размера число магических квадратов стремительно растёт. Если не считать повороты и отражения ^[2]:

Что квадратов 4×4 ровно 880, доказал француз Бернар Френикль де Бесси; его работа вышла в 1693 году, уже после его смерти^[2]. А Пьер Ферма в 1640 году хвастался в письме, что умеет строить больше триллиона квадратов 8×8^[2].

Квадрат на соборе

На фасаде Страстей собора Саграда Фамилия в Барселоне высечен квадрат 4×4 с суммой 33 — по возрасту Христа. Он очень похож на квадрат Дюрера, но четыре числа в нём уменьшены на единицу, поэтому некоторые числа повторяются, и строгие математики не считают его нормальным^[2].