Двоичная система счисления

Всего две цифры

Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2: в ней всего две цифры, 0 и 1 ^[1][2].

Устроена она так же, как привычная десятичная. В числе 345 тройка означает сотни, четвёрка — десятки, пятёрка — единицы: каждый разряд в 10 раз «тяжелее» соседа справа. В двоичной системе каждый разряд тяжелее соседа в 2 раза: справа налево идут единицы, двойки, четвёрки, восьмёрки, шестнадцать, тридцать два…

Читаем двоичные числа

Чтобы понять двоичное число, сложите «веса» разрядов, где стоят единицы:

• 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13;
• 10000 = 16;
• 11111111 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255.

Первые числа выглядят так:

Считать проще простого

Таблица сложения в двоичной системе умещается в четыре строчки: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 и 1 + 1 = 10 — ноль пишем, единицу переносим в следующий разряд. Умножение ещё проще: на 0 — ноль, на 1 — то же самое число. Именно эта простота делает двоичную систему удобной для машин.

Почему компьютеры говорят по-двоичному

Две цифры легко изобразить в электронике: есть ток — 1, нет тока — 0. Двоичную систему можно напрямую реализовать на логических элементах цифровых схем — поэтому её используют практически во всех современных компьютерах и электронных устройствах^[1].

Одна двоичная цифра называется бит. Восемь битов — байт: им можно записать 2⁸ = 256 разных значений. Штрихкоды и QR-коды на товарах — тоже двоичные: тёмный модуль или светлый. О них — в статьях «Как устроен штрихкод» и «Как устроен QR-код».

Двоичное до компьютеров

Похожие на двоичную системы появлялись задолго до компьютеров и в разных культурах^[2]:

• в китайской «Книге перемен» (И-цзин, IX век до н. э.) гадательные знаки-гексаграммы записаны, по сути, двоичным кодом;
• индийский учёный Пингала (около II века до н. э.) описывал стихотворные размеры сочетаниями коротких и долгих слогов, по сути двоичным кодом;
• в 1605 году англичанин Фрэнсис Бэкон предложил шифр, в котором каждая буква записывается последовательностью из двух символов.

Лейбниц и «Книга перемен»

Современную двоичную систему подробно описал немецкий учёный Готфрид Лейбниц. Он написал о ней больше сотни рукописей, а самая известная его работа — статья «Объяснение двоичной арифметики», опубликованная в 1703 году ^[2][1].

Лейбниц увлекался китайской культурой. Миссионер-иезуит Иоахим Буве, знаток «Книги перемен», показал ему, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Лейбниц увидел в этом свидетельство глубины китайской философской математики^[2][1].

От логики к машинам

• В 1854 году английский математик Джордж Буль описал алгебру логики — её теперь называют булевой алгеброй^[1][2].
• В 1937 году Клод Шеннон в своей диссертации в Массачусетском технологическом институте впервые применил булеву алгебру и двоичную арифметику к электрическим реле и переключателям. Эта работа, по сути, основала проектирование цифровых схем^[2][1].
• В том же 1937 году инженер Джордж Стибиц собрал у себя на кухне релейную вычислительную машину, складывавшую двоичные числа. Он назвал её «Модель K» — от слова kitchen, «кухня»^[2].