Теорема Пифагора

Что утверждает теорема

Возьмём прямоугольный треугольник. Самая длинная его сторона, напротив прямого угла, называется гипотенузой, две другие — катетами. Теорема Пифагора говорит^[1]:

a² + b² = c²

— квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У теоремы есть и наглядная, «площадная» форма — так её и сформулировал Евклид: если на каждой стороне треугольника построить квадрат, то площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей двух других квадратов^[1].

Египетский треугольник 3–4–5

Самый известный пример — треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 9 + 16 = 25. Такие тройки целых чисел называют пифагоровыми тройками. Другие примеры — 5, 12, 13 и 6, 8, 10.

По словам Плутарха, древние египтяне знали треугольник 3–4–5 и связывали его стороны с богами — Осирисом, Исидой и Гором^[2]. Историк математики Мориц Кантор считал, что египетские землемеры — «натягиватели верёвок» — размечали этим треугольником прямые углы^[1].

Задолго до Пифагора

Пифагор жил около 570–495 годов до н. э.^[2], а теорема гораздо старше.

• Вавилон. Историки считают, что правилом широко пользовались в старовавилонский период — XX–XVI века до н. э., больше чем за тысячу лет до рождения Пифагора. Глиняная табличка Plimpton 322 (около 1800 года до н. э.) содержит записи, которые можно прочитать как 15 разных пифагоровых троек^[2].
• Египет. В берлинском папирусе 6619 (около 1800 года до н. э.) есть задача о двух квадратах, площади которых в сумме дают третий, — с ответом 6, 8, 10. Правда, треугольник там не упоминается^[2].
• Индия. В «Баудхаяна-шульба-сутре» (между VIII и V веками до н. э.) есть и список троек, и сама теорема ^[2].
• Китай. В книге «Чжоу би суань цзин» приводится рассуждение для треугольника 3–4–5. В Китае теорему называют теоремой гоу-гу^[2][1].

Почему же теорема носит имя Пифагора? Принято считать, что именно он первым её доказал, а не просто пользовался ею^[1]. Но надёжных свидетельств об этом мало: в дошедших до нас греческих текстах первых пяти веков после Пифагора прямо не сказано, что он её доказал^[2]. Старейшее сохранившееся доказательство — в «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.), предложение 47 первой книги^[1].

Доказательство без формул

Возьмите четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c и большой квадрат со стороной a + b^[2].

1. Разложите треугольники в углах квадрата так, чтобы гипотенузы смотрели внутрь. В середине останется пустой квадрат со стороной c — площадью c².
2. Теперь переложите те же треугольники парами — так, чтобы они составили два прямоугольника. Пустое место теперь — два квадрата: a² и b².

Большой квадрат тот же, треугольники те же — значит, и пустое место одинаковое: c² = a² + b².

Где пригождается

• Расстояния. Расстояние между двумя точками на карте или на экране — это гипотенуза треугольника, катеты которого — разница по горизонтали и вертикали. На этом построена вся формула расстояния в координатах ^[2].
• Диагональ экрана. Телевизор «55 дюймов» — это длина диагонали: она связана с шириной и высотой экрана той же формулой.
• Стройка и разметка. Треугольник 3–4–5 помогает поставить прямой угол без инструментов.

Кеплер называл теорему Пифагора одним из двух сокровищ геометрии — второе, золотое сечение, описано в статье «Золотое сечение».