Пятнашки — Журнал lavarden.ru
Войти
Пятница, 23 октября 2026
Правила игр Головоломки

Пятнашки

Головоломка «Игра в 15»: правила, почему половину раскладов нельзя собрать и как это проверить

Справка Для новичков Проверено 20 октября 2026 3 мин чтения Обсудить
Коротко

В коробке 4×4 лежат 15 пронумерованных фишек и одна пустая клетка. Фишки можно сдвигать в пустое место, и цель — расставить их по порядку. Ровно половина всех возможных раскладов не собирается никогда — это можно проверить заранее по чётности. Любой собираемый расклад решается не больше чем за 80 ходов. В 1880 году головоломка вызвала настоящую лихорадку в США, Европе и России.

Правила

Коробка 4×4 с фишками от 1 до 15 по порядку и пустой клеткой в правом нижнем углу
Собранные пятнашки: фишки от 1 до 15 по порядку, пустая клетка — внизу справаlavarden.ru · Журнал lavarden.ru · Собственное изображение lavarden.ru

В квадратной коробке 4×4 лежат 15 фишек с числами от 1 до 15, одна клетка пустая. За ход можно сдвинуть в пустую клетку любую соседнюю с ней фишку. Цель — расставить фишки по порядку слева направо и сверху вниз, чтобы пустая клетка оказалась в правом нижнем углу[1].

Половину раскладов собрать нельзя

Если вынуть фишки и разложить их случайно, получится одна из 16! ≈ 20,9 триллиона расстановок. Но собрать можно ровно половину — 10 461 394 944 000. Вторая половина нерешаема в принципе: никакой последовательностью ходов к порядку не прийти.

Знаменитые «14–15»

Самый известный нерешаемый расклад — когда всё на местах, но переставлены 14 и 15. Именно его предлагали в качестве «конкурсной» задачи: собрать его невозможно.

Как проверить расклад

Есть простой признак — по чётности:

  1. Выпишите фишки подряд, строка за строкой.
  2. Для каждой фишки посчитайте, сколько меньших чисел стоит после неё. Сложите все эти числа — это число «беспорядков».
  3. Прибавьте номер строки, в которой стоит пустая клетка (сверху, начиная с 1).
  4. Если получилось чётное число — расклад собирается. Нечётное — нет.

Проверка на собранных пятнашках: беспорядков 0, пустая клетка в 4-й строке, 0 + 4 = 4 — чётно, всё верно. А если переставить 14 и 15: беспорядок один (15 стоит перед 14), 1 + 4 = 5 — нечётно, собрать нельзя.

Поэтому, если пятнашки «не сходятся», дело не в вас: возможно, кто-то вынул и переставил фишки.

Сколько нужно ходов

Любой решаемый расклад можно собрать не больше чем за 80 ходов по одной фишке. Самых трудных раскладов, которым нужны все 80 ходов, всего 17. Если считать ходом сдвиг сразу до трёх фишек в ряд, максимум сокращается до 43.

Как собирать
  • Собирайте по рядам: сначала верхний ряд (1–4), затем второй (5–8).
  • Последние два ряда собирайте по столбцам: сначала 9 и 13, потом 10 и 14, и в конце 11, 12, 15.
  • Последние две фишки ряда ставьте вместе: сначала «загоните» их в угол парой, а потом поверните на место.

Лихорадка 1880 года

Гравюра: фермер в поле ломает голову над огромной коробкой пятнашек с переставленными 14 и 15
Иллюстрация Сэма Лойда к головоломке «14-15», 1914. Лойд выдавал себя за изобретателя пятнашек, но это не такСэм Лойд · Викисклад · Общественное достояние

Головоломку придумал американец Ной Чапмэн, почтмейстер городка Канастота в штате Нью-Йорк: он показывал её друзьям ещё в 1870-х, а в марте 1880 года подал заявку на патент[2]. В декабре 1879 года в Бостоне её начали продавать как Gem Puzzle, а в начале 1880 года в США вспыхнула настоящая «пятнашечная лихорадка». Той же весной она докатилась до Европы и России: объявление о пятнашках напечатала петербургская газета «Герольд» 25 апреля 1880 года.

Знаменитый составитель головоломок Сэм Лойд с 1891 года называл себя изобретателем «Игры в 15», но исследователи Джерри Слокум и Дик Сонневелд показали, что он не имел отношения ни к изобретению, ни к популярности головоломки.

Доказательство 1879 года

То, что половину раскладов собрать нельзя, математики доказали ещё в разгар моды: в 1879 году Уильям Джонсон показал, что «нечётные» расклады нерешаемы, а Уильям Стори — что все «чётные» решаемы[2].

Ещё одна классическая головоломка с математическим секретом — Ханойская башня.

головоломкиматематикаигры для одного

Частые вопросы

Можно ли собрать пятнашки из любого положения?

Нет. Ровно половина всех расстановок нерешаема — например, та, где переставлены только 14 и 15.

За сколько ходов можно собрать любые пятнашки?

Любой решаемый расклад собирается не более чем за 80 ходов (если двигать по одной фишке). Таких самых трудных раскладов всего 17.

Правда ли, что пятнашки придумал Сэм Лойд?

Нет. Лойд с 1891 года называл себя автором, но связь его с головоломкой до 1891 года не прослеживается. Изобретателем считают Ноя Чапмэна.

Источники

  1. Игра в 15, Википедия. ru.wikipedia.org
  2. E. W. Weisstein. 15 Puzzle, MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com

Ссылаются на эту статью

Обсуждение

Комментариев пока нет — начните обсуждение первым.